Є задачі, які з першого погляду здаються складнішими, ніж насправді. Побудова бісектриси — якраз із таких. Здається, що треба щось хитро виміряти, порахувати, підібрати кут — а насправді достатньо циркуля, лінійки і чіткого алгоритму, якому залишається просто слідувати. Якщо ви ще не зовсім впевнені, що таке бісектриса і навіщо вона взагалі потрібна — почитайте спершу це коротке пояснення, а потім повертайтесь: далі буде суто практика.
У цій статті — покроковий алгоритм побудови бісектриси для різних ситуацій: звичайний кут, тупий кут, кут у трикутнику. Плюс типові помилки, які роблять усі — і як їх уникнути.
Що нам знадобиться: інструменти і позначення
Набір інструментів і система позначень
Для побудови потрібні: циркуль із щільним шарніром (розхитаний — ваш головний ворог, перевірте перед роботою), гостро заточений олівець, лінійка і аркуш паперу. Ластик теж знадобиться — допоміжні дуги після побудови прийнято стирати.
Про позначення: вершина кута — велика літера B, точки на сторонах — A і C, допоміжні точки перетину дуг — M, N, K. Бісектриса — промінь із вершини B через точку перетину дуг K. Якщо дотримуватися цих позначень одразу — потім не доведеться заново розбиратися, що є що.
Базовий алгоритм: побудова бісектриси кута циркулем
Крок 1 — проводимо допоміжну дугу з вершини кута
Поставте ніжку циркуля точно у вершину кута (точку B). Виберіть довільний радіус — не надто малий, щоб дуги добре виднілися, і не надто великий, щоб вони не виходили за межі кута. Проведіть дугу так, щоб вона перетнула обидві сторони кута. Позначте точки перетину: M (на одній стороні) і N (на іншій).
Важливо: радіус на цьому кроці обираєте довільно, але він має бути однаковим для обох перетинів — тобто ви проводите одну безперервну дугу, не змінюючи розхилу циркуля.
Крок 2 — проводимо дуги з точок M і N
Не змінюючи радіус циркуля (або встановивши новий, але однаковий для обох точок), поставте ніжку у точку M і проведіть дугу всередині кута. Потім так само — з точки N. Два кола мають перетнутися всередині кута. Позначте точку перетину як K.
Порада: радіус для цього кроку має бути більшим за половину відрізка MN — інакше дуги не перетнуться. Якщо дуги «не дотягуються» одна до одної, збільшіть радіус і повторіть крок.
Крок 3 — проводимо бісектрису
З’єднайте вершину кута B з точкою K за допомогою лінійки. Промінь BK — це і є бісектриса кута. Можна провести його далі за точку K, якщо потрібно показати бісектрису як повноцінний промінь, а не відрізок.
Крок 4 — перевірка результату
Щоб переконатися в точності, виміряйте транспортиром обидва кути, на які бісектриса поділила вихідний кут. Вони мають бути рівними. Допустима похибка для шкільних побудов — 0,5–1 градус. Якщо відхилення більше — найчастіше причина в тому, що циркуль збив радіус під час малювання дуг.
Побудова бісектриси тупого кута: є нюанс
Чому тупий кут вимагає уваги
З тупими кутами (більше 90°) базовий алгоритм працює точно так само — але є одна практична складність: дуги, проведені з точок M і N, можуть перетнутися дуже близько до сторін кута або взагалі за межами аркуша, якщо ви обрали занадто малий радіус на кроці 2.
Рішення просте: для тупих кутів використовуйте більший радіус на кроці 1 (щоб точки M і N опинилися подалі від вершини), і відповідно більший радіус на кроці 2. Тоді точка K буде чітко всередині кута і в зручному місці аркуша.
Покроковий алгоритм для тупого кута
Алгоритм нічим не відрізняється від базового — ті ж чотири кроки. Єдина відмінність — у виборі радіусів: вони мають бути достатньо великими, щоб точка перетину дуг K опинилася всередині кута, а не збоку. Якщо перша спроба дала перетин поза кутом — збільшіть радіус на кроці 2 і повторіть.
Побудова бісектриси кута в трикутнику
Бісектриса з конкретної вершини
Щоб побудувати бісектрису кута трикутника ABC із вершини B, алгоритм не змінюється: ставите циркуль у B, проводите дугу, яка перетинає сторони BA і BC у точках M і N, потім з M і N проводите дуги всередині кута — і з’єднуєте B з точкою перетину K. Бісектриса BK перетне протилежну сторону AC у точці, яка ділить її у відношенні BA:BC.
Цікавий факт: саме цю властивість (ділити протилежну сторону пропорційно прилеглим сторонам) називають теоремою про бісектрису трикутника. Вона часто зустрічається в задачах ДПА і ЗНО.
Побудова всіх трьох бісектрис трикутника
Якщо потрібно знайти центр вписаного кола трикутника, будуємо бісектриси із двох будь-яких вершин (третя автоматично пройде через ту саму точку — це властивість трикутника). Точка перетину всіх трьох бісектрис — інцентр — є центром кола, вписаного в трикутник.
Практична порада: будуйте бісектриси з двох кутів, що мають зручніший розхил. Гострі кути з невеликим розхилом дають менш помітну точку перетину дуг — там краще використовувати більший радіус.
Таблиця алгоритму: покроково
| Крок | Дія | На що звернути увагу |
|---|---|---|
| 1 | Дуга з вершини B, перетинає обидві сторони в M і N | Радіус довільний, але один для обох точок |
| 2 | Дуги з M і N однакового радіуса, перетинаються в K | Радіус > ½ MN, інакше дуги не перетнуться |
| 3 | Провести промінь BK | Використовувати лінійку, не олівець «від руки» |
| 4 | Перевірка транспортиром | Обидва кути мають бути рівними |
Типові помилки при побудові бісектриси
Різні радіуси на другому кроці
Найпоширеніша помилка — встановити різний радіус для дуг із точок M і N. Здається, що «приблизно однаково» — цього достатньо. Не достатньо. Якщо радіуси відрізняються, точка K зміщується від справжньої бісектриси, і кут ділиться нерівно. Перед тим як малювати дугу з N — перевірте, що розхил циркуля не змінився після дуги з M.
Ставити ніжку циркуля не точно у вершину
Якщо на першому кроці ніжка циркуля стоїть не в самій вершині кута, а збоку — уся побудова «їде». Особливо критично це для гострих кутів із невеликим розхилом. Перевірте положення ніжки перед тим, як провести дугу: вона має стояти точно на вершині, а не поруч.
Неправильне визначення точки K
Іноді дуги перетинаються в двох точках — одна всередині кута, інша зовні. Бісектриса проходить через точку K всередині кута — саме туди треба провести промінь із вершини B. Точка зовні кута дасть «зовнішню бісектрису» — це окрема геометрична конструкція, яка в шкільних задачах зустрічається рідше.
Проводити бісектрису від руки
Після того як точка K знайдена — промінь BK треба проводити суворо по лінійці, а не «від руки через дві точки». Навіть невеликий нахил олівця дає помітне відхилення, особливо якщо відстань BK мала.
Побудова бісектриси без циркуля: два способи
Складання паперу і транспортир
Якщо циркуля немає — складіть аркуш так, щоб одна сторона кута лягла точно на іншу. Лінія згину через вершину і є бісектриса. Спосіб непоганий для гострих кутів, але для тупих (близьких до 180°) точність падає.
Альтернатива — транспортир: виміряйте кут, поділіть навпіл, відкладіть результат від однієї сторони. Для навчальних задач із позначкою «побудова циркулем» жоден із цих методів не підходить — там потрібен саме циркульний алгоритм.
Корисні властивості бісектриси: що варто пам’ятати
Рівновіддаленість і зв’язок із медіаною та висотою
Будь-яка точка на бісектрисі рівновіддалена від обох сторін кута — це її ключова властивість. Саме вона лежить в основі завдань на вписане коло і задач на відстані. Якщо в умові сказано «точка рівновіддалена від двох прямих» — майже напевно мова про бісектрису.
У трикутнику варто не плутати бісектрису з медіаною (проходить через середину протилежної сторони) і висотою (перпендикуляр до протилежної сторони). У рівнобедреному трикутнику всі три збігаються — але лише для кута між рівними сторонами.
Практичні задачі для закріплення
Два завдання для відпрацювання алгоритму
Задача 1: намалюйте кут 70°, побудуйте бісектрису за чотирикроковим алгоритмом і перевірте транспортиром — обидва отримані кути мають бути по 35°. Якщо різниця більше 1° — шукайте, де збився радіус циркуля.
Задача 2: намалюйте довільний трикутник, побудуйте бісектриси з двох вершин — точка перетину є інцентром. Від інцентра опустіть перпендикуляр на будь-яку сторону — отримаєте радіус вписаного кола. Намалюйте коло і перевірте, що воно торкається всіх трьох сторін.
Часті запитання про побудову бісектриси
Чому дуги на другому кроці мають бути однакового радіуса? Тому що ми фактично знаходимо точку, рівновіддалену від обох сторін кута — це геометрична суть бісектриси. Якщо радіуси різні, точка K зміщується від справжньої серединної лінії.
Чи можна будувати бісектрису без лінійки — тільки циркулем? Для проведення прямої лінії через дві точки лінійка необхідна. Циркулем можна знайти точку K, але провести промінь BK без лінійки неможливо (якщо тільки не вважати «прямою» ланцюжок точок, що явно не є прийнятим методом у геометрії).
Як перевірити, що бісектриса побудована правильно, якщо немає транспортира? Складіть аркуш по лінії бісектриси — сторони кута мають точно збігтися. Якщо одна виступає за іншу — є похибка.
Скільки бісектрис можна провести з одного кута? Рівно одну — бісектриса єдина для кожного кута. Але у кута є ще «зовнішня бісектриса» — вона перпендикулярна до звичайної і ділить суміжний кут навпіл.
Побудова бісектриси циркулем — це один із тих алгоритмів, де головне не розуміти складну теорію, а чітко виконати чотири кроки в правильному порядку з однаковим радіусом. Перша спроба може вийти не ідеальною — і це нормально. Наступна буде точнішою, якщо ви знаєте, де саме помилилися. Перевіряйте транспортиром, тренуйтеся на простих кутах перед трикутниками — і незабаром побудова бісектриси стане такою ж автоматичною, як таблиця множення.
Об авторе
